Главная › Лекции › 3Blue1Brown — Сущность линейной алгебры

Неквадратные матрицы как преобразования между пространствами разной размерности

Лекция объясняет, как по числу строк и столбцов неквадратной матрицы понять размерности входного и выходного пространств.

3Blue1Brown⏱ 4 минОткрыть на YouTube ↗
Пройти весь тест — 6 вопросов →

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

Линейное преобразование может переводить векторы не только между пространствами одинаковой размерности. Например, преобразование из двумерного пространства в трёхмерное сохраняет начало координат, а линии сетки остаются параллельными и равномерно расположенными. Входные и выходные векторы при этом принадлежат разным пространствам. Чтобы записать преобразование матрицей, находят образы базисных векторов и помещают их координаты в столбцы.

В матрице 3×2 два столбца соответствуют двум базисным векторам входного пространства, а три строки показывают координаты их образов в трёхмерном пространстве. В приведённом примере образы лежат в плоскости, проходящей через начало координат; преобразование имеет полный ранг, поскольку размерность пространства-столбцов равна размерности входа. Обратно, матрица 2×3 задаёт переход из трёх измерений в два: три базисных вектора отображаются в точки с двумя координатами.

Матрица 1×2 описывает преобразование из двумерного пространства в одномерное, то есть на числовую прямую. Здесь линейность можно представить так: равномерно расположенные точки на линии после отображения остаются равномерно расположенными. Такой тип преобразования связан со скалярным произведением; лекция анонсирует его обсуждение в следующем видео.

Ключевые идеи

Примеры вопросов

Линейное преобразование принимает входные векторы из двумерного пространства и сопоставляет им выходные векторы из трёхмерного пространства. Как правильно понимать различие между входом и выходом такого преобразования?

  1. AРазличие между входом и выходом сводится к тому, что выходной вектор всегда длиннее входного по геометрической длине.
  2. BВход и выход — один и тот же вектор, который лишь изображают сначала на плоскости, а затем в объёме.
  3. CВыходной вектор обязательно содержит входной вектор как две первые координаты.
  4. DВход и выход принадлежат разным пространствам, поэтому выходной вектор не является тем же самым вектором, что входной, даже если преобразование связывает их.
Показать ответ

Верный ответ: D. Преобразование связывает элементы двух разных пространств: вход задаётся в двумерном, а результат — в трёхмерном. Это не означает, что они являются одним вектором или что координаты результата обязаны включать координаты входа.

Линейное преобразование T: ℝ² → ℝ³ задаётся образами стандартных базисных векторов: T(e₁) = (2, −1, 0), T(e₂) = (3, 4, 5). Какая матрица представляет T в стандартных базисах?

  1. A[[3, 2], [4, −1], [5, 0]]
  2. B[[2, 3, 0], [−1, 4, 5]]
  3. C[[2, −1, 0], [3, 4, 5]]
  4. D[[2, 3], [−1, 4], [0, 5]]
Показать ответ

Верный ответ: D. Каждый столбец матрицы содержит координаты образа соответствующего базисного вектора области определения.

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →