Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.
О чём лекция
Координаты вектора задаются относительно выбранных базисных векторов: числа показывают, во сколько раз нужно растянуть каждый из них, а затем сложить полученные векторы. Поэтому одни и те же вектор и точка могут иметь разные координаты в разных базисах. Сетка и направления осей служат способом визуализации системы координат, а не свойством самого пространства.
Чтобы перевести координаты из базиса Дженнифер в стандартный, составляют матрицу, столбцы которой — её базисные векторы, записанные в стандартных координатах. Умножение этой матрицы на координаты вектора даёт его стандартное описание; обратная матрица переводит координаты в систему Дженнифер. Для записи линейного преобразования в новом базисе сначала переводят вектор в стандартные координаты, применяют матрицу преобразования, затем переводят результат обратно. Поэтому новая матрица имеет вид A⁻¹MA. Она описывает то же преобразование, но в другом базисе.
Ключевые идеи
Координаты выражают через масштабирование базисных векторов и сложение полученных векторов.
Базисные векторы определяют систему координат и смысл координатных чисел.
Разные базисы задают разные способы описания одних и тех же векторов.
Матрица со столбцами из базисных векторов нового базиса переводит его координаты в стандартные.
Обратная матрица смены базиса переводит координаты из стандартной системы в новый базис.
Матрицу преобразования в другом базисе получают, учитывая, куда переходят именно его базисные векторы.
Матрица A⁻¹MA описывает исходное преобразование в новом базисе.
Примеры вопросов
На плоскости векторы описывают парами чисел, причём сначала выбирают два опорных вектора. Что именно этот выбор задаёт для описания векторов?
AДлину каждого вектора, независимо от выбранных опорных векторов
BПравило, по которому любой вектор становится одним из опорных
CСистему координат, в которой векторы сопоставляются числовым парам
DЕдинственную пару чисел для каждого вектора во всех возможных описаниях
Показать ответ
Верный ответ: C. Числа описывают векторы относительно выбранных опорных направлений; вместе они задают способ координатного описания.
В двумерном пространстве вектор задан координатами \((5/3, 1/3)\) относительно базиса \((b_1,b_2)\). Какое выражение задаёт этот вектор через базисные векторы?
A\((1/3)b_1+(5/3)b_2\)
B\((5/3)b_1+(1/3)b_2\) с последующим делением результата на 2
C\(b_1+b_2\), поскольку координаты указывают только порядок базисных векторов
D\((5/3)b_1+(1/3)b_2\)
Показать ответ
Верный ответ: D. Каждая координата задаёт множитель соответствующего базисного вектора; полученные векторы складываются.