Главная › Лекции › 3Blue1Brown — Сущность линейной алгебры

Векторы: основы линейной алгебры

Лекция знакомит с геометрическим и числовым представлениями векторов, координатами, сложением и умножением на число.

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

В лекции рассматриваются три взгляда на векторы. В геометрическом представлении вектор — это стрелка, которую определяют длина и направление; её положение в пространстве не меняет сам вектор. В прикладном компьютерном контексте вектор можно понимать как упорядоченный список чисел, например параметров дома. Математическое обобщение охватывает объекты, для которых определены сложение и умножение на число. Для изучения линейной алгебры лекция предлагает прежде всего представлять векторы как стрелки с началом в начале координат, а затем соотносить их с числовыми списками.

Координаты задают, как пройти от начала координат к концу вектора: в двумерном случае первое число отвечает за движение вдоль оси x, второе — вдоль оси y. В трёх измерениях добавляется координата вдоль оси z. Каждому вектору соответствует единственный набор координат, и каждому такому набору — единственный вектор.

Сложение векторов изображается правилом «от конца к началу»: второй вектор переносят так, чтобы его начало совпало с концом первого, а сумма ведёт от начала первого к концу второго. В координатах складывают соответствующие компоненты. Умножение на скаляр растягивает или укорачивает вектор, а отрицательный множитель меняет его направление; численно каждый компонент умножается на это число. Связь геометрического и числового представлений позволяет наглядно изучать данные и описывать пространство с помощью вычислений.

Ключевые идеи

Векторы можно понимать как стрелки, упорядоченные списки чисел или более абстрактные объекты, для которых определены сложение и умножение на число.
Для геометрического изучения линейной алгебры удобно представлять векторы стрелками с началом в начале координат.
Координаты вектора показывают, на сколько переместиться вдоль каждой оси от начала координат к его концу.
В трёх измерениях вектор задаётся тремя координатами, соответствующими направлениям осей x, y и z.
Сумму векторов строят, последовательно откладывая их друг за другом: от начала первого к концу второго.
В числовом представлении векторы складывают покомпонентно.
Умножение вектора на скаляр растягивает или сжимает его, а отрицательный скаляр дополнительно разворачивает направление.
Сила линейной алгебры — в переводе между геометрическим и числовым представлениями векторов.

Примеры вопросов

При описании дома вектором из двух чисел договорились записывать сначала площадь, а затем цену. Как следует понимать пару (120, 8), если эти числа обозначают площадь и цену в выбранных единицах?

AПлощадь равна 8, а цена — 120; порядок чисел не влияет на смысл.
BЧисла обозначают координаты дома на плоскости, а не его характеристики.
CПлощадь равна 120, а цена — 8; перестановка чисел изменит, какие характеристики они обозначают.
DПара задаёт только набор чисел 120 и 8, поэтому определить, где площадь, а где цена, нельзя.

Показать ответ

Верный ответ: C. В упорядоченной паре каждому месту соответствует своя характеристика: первое число отвечает за площадь, второе — за цену.

На координатной плоскости нужно изобразить вектор в линейной алгебре в виде стрелки. Как обычно располагают эту стрелку относительно начала координат?

AРисуют стрелку так, чтобы она обязательно лежала на одной из координатных осей.
BВыбирают положение стрелки произвольно, не учитывая начало координат.
CНачинают стрелку в начале координат и направляют её к конечной точке.
DПомещают начало стрелки в конечную точку, а наконечник — в начале координат.

Показать ответ

Верный ответ: C. Для стандартного геометрического изображения вектора стрелку обычно проводят из начала координат к её конечной точке.

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →