Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.
О чём лекция
В двумерном случае векторное произведение двух векторов — это знаковая площадь параллелограмма, который они образуют. Знак зависит от порядка векторов и их ориентации: при перестановке векторов он меняется. Значение можно найти как определитель матрицы, столбцами которой служат координаты этих векторов. Определитель показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет площадь единичного квадрата, превращая его в нужный параллелограмм; отрицательный знак означает изменение ориентации.
Площадь параллелограмма больше, когда векторы ближе к перпендикулярным, и растёт пропорционально длине любого из векторов. Однако обычное трёхмерное векторное произведение — уже вектор: его длина равна площади параллелограмма, а направление перпендикулярно его плоскости и определяется правилом правой руки. Для вычисления используют определитель с координатами двух векторов и базисными векторами в первом столбце. Такой приём связан с геометрическим смыслом определителя; более глубокое объяснение этой связи лекция оставляет для следующей части.
Ключевые идеи
В двумерном случае векторное произведение связано с площадью параллелограмма, образованного двумя векторами.
Знак результата зависит от ориентации векторов, поэтому при их перестановке знак меняется.
Знаковую площадь можно вычислить как определитель матрицы, столбцами которой являются координаты векторов.
Определитель отражает изменение площади при преобразовании, а его знак указывает на сохранение или смену ориентации.
Площадь параллелограмма увеличивается, когда векторы ближе к перпендикулярным, и масштабируется вместе с длиной одного из них.
В трёхмерном пространстве векторное произведение — вектор, длина которого равна площади параллелограмма, а направление перпендикулярно его плоскости.
Направление векторного произведения задаётся правилом правой руки.
Для вычисления трёхмерного векторного произведения используют определитель с базисными векторами в первом столбце.
Примеры вопросов
Два вектора v и w выходят из одной точки на плоскости; v расположен справа от w. Если ориентированную площадь параллелограмма задаёт порядок векторов в произведении, какой знак имеет w × v по сравнению с v × w?
AЗнак меняется на противоположный: если v × w положительно, то w × v отрицательно.
BЗнаки совпадают, поскольку оба произведения относятся к одному параллелограмму.
CЗнак зависит только от длин векторов, а не от их порядка.
Dw × v всегда равно нулю, потому что векторы не переставлены геометрически.
Показать ответ
Верный ответ: A. При перестановке векторов меняется ориентация обхода параллелограмма, поэтому знак ориентированной площади становится противоположным.
Для векторов плоскости \(v=(2,1)\) и \(w=(3,4)\) 2D-векторное произведение вычисляют как определитель матрицы, в столбцах которой стоят координаты этих векторов: \(\begin{vmatrix}v_x&w_x\\v_y&w_y\end{vmatrix}\). Чему равно это произведение?
A11
B−5
C−2
D5
Показать ответ
Верный ответ: D. Подставляем координаты в определитель: \(2\cdot4-3\cdot1=5\).