Главная › Лекции › 3Blue1Brown — Сущность линейной алгебры

Векторное произведение через линейные преобразования

Лекция связывает вычисление векторного произведения с определителем, двойственностью и геометрией объёма.

Бесплатно, нужен вход через Google. Готовый тест не тратит часовой лимит.

О чём лекция

Векторное произведение двух векторов можно вычислить через определитель матрицы, в первый столбец которой формально записывают базисные векторы, а в остальные — координаты исходных векторов. Полученные коэффициенты становятся координатами нового вектора. Чтобы объяснить геометрический смысл этого вычисления, лекция вводит двойственность: линейное преобразование из пространства в числовую прямую можно представить как скалярное произведение с некоторым вектором.

Для фиксированных векторов v и w рассматривается преобразование, которое каждому вектору x сопоставляет определитель матрицы с колонками x, v и w. Этот определитель равен ориентированному объёму параллелепипеда, а зависимость от x линейна. Поэтому преобразование задаётся скалярным произведением с вектором p. Вычисление определителя показывает, что координаты p совпадают с коэффициентами, получаемыми при обычном расчёте векторного произведения.

Геометрически тот же объём равен площади параллелограмма, натянутого на v и w, умноженной на компоненту x, перпендикулярную этому параллелограмму. Значит, p перпендикулярен обоим векторам, а его длина равна площади параллелограмма. Направление p выбирается так, чтобы знак скалярного произведения соответствовал ориентации по правилу правой руки. Так вычислительная формула векторного произведения оказывается связана с его геометрическими свойствами.

Ключевые идеи

Векторное произведение перпендикулярно исходным векторам, имеет длину площади параллелограмма и ориентировано по правилу правой руки.
Двойственность позволяет представить линейное преобразование в числовую прямую как скалярное произведение с определённым вектором.
Если считать один вектор переменным, определитель с колонками x, v и w задаёт преобразование из трёхмерного пространства в числа.
Это преобразование линейно, поэтому его можно представить скалярным произведением с некоторым вектором p.
Раскрытие определителя показывает, что координаты p — это коэффициенты при координатах переменного вектора x.
Геометрически ориентированный объём равен площади основания, образованного v и w, умноженной на перпендикулярную компоненту x.
Вектор p перпендикулярен v и w, имеет длину площади параллелограмма и выбирается с учётом ориентации.

Примеры вопросов

Для двух непараллельных векторов v и w рассматривают векторное произведение v × w. Какое описание одновременно верно для его длины и направления?

AЕго длина равна сумме длин v и w, а направление совпадает с направлением v.
BЕго длина равна произведению длин v и w при любом угле между ними, а направление перпендикулярно только вектору w.
CЕго длина равна площади параллелограмма на v и w, а направление лежит в плоскости, натянутой на эти векторы.
DЕго длина равна площади параллелограмма на v и w, а направление перпендикулярно обоим векторам и определяется правилом правой руки.

Показать ответ

Верный ответ: D. Векторное произведение перпендикулярно обоим исходным векторам; его длина задаёт площадь построенного на них параллелограмма, а ориентацию выбирают по правилу правой руки.

В евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением линейное отображение из векторного пространства в числа задано строкой коэффициентов. Как его можно представить как скалярное произведение входного вектора с обычным вектором-столбцом?

AВзять вектор, составленный из тех же коэффициентов, что и строка, и вычислить его скалярное произведение с входным вектором.
BУмножить входной вектор на саму строку, не преобразуя её в вектор-столбец.
CПереставить коэффициенты строки в обратном порядке и вычислить скалярное произведение.
DЗаменить каждый коэффициент строки на противоположный и вычислить скалярное произведение.

Показать ответ

Верный ответ: A. При стандартном скалярном произведении строка коэффициентов задаёт линейный функционал, а её транспонирование — вектор, скалярное произведение с которым даёт то же значение.

Пройти весь тест — 6 вопросов →

Свой тест по любой лекции

Вставьте ссылку на видео — LearnReplay сделает тест на понимание.

Создать тест →